Каква е истината? Как да различа истинско твърдение от невярно? Нека сега да забравим за момент ежедневните аспекти на този въпрос и да се съсредоточим върху математическата истина. Още от времето на древна Гърция математиците и логиците се опитват да открият кои твърдения са верни - и следователно могат да се считат за теорема (теоремата) и кои не. Само през последните два века обаче е постигнат истински напредък, особено благодарение на т.нар формална логика.
Основата на формалната логика е формална система. Представете си, че имаме определен набор от символи, с които можем да напишем дадено изявление. Напр. символът + представлява операцията за добавяне, E (или екзистенциалният квантор) означава "съществува, за който е валиден", A (или универсалният квантор) означава "за всички. Можем да използваме и логически символи като & -A, v-or, само ако,
отрицание и произволен брой променливи, които могат да бъдат означени като x, y, z, респ. x 'y' z ', x' 'y' 'z' и т.н. От тези символи сме събрали аксиоми - крайъгълните камъни на официалната система. Аксиомите са НАБЛЮДЕНИ истини, които вече не трябва да се доказват, като напр Aa: (a + 0) = a - за всички a, e и плюс нула са равни на a, или Aa: (a.0) = 0. Във формалната система имаме и т.нар процедурни правила - кои са правилата, които ни казват как да създадем друго вярно твърдение от едно истинско твърдение - напр. ако твърдението P е вярно, тогава отрицанието на неговото отрицание също е вярно -
P = P или ако твърденията r = s и s = t са верни, тогава твърдението r = t също е вярно. Тези правила също са очевидни, те просто са част от света, в който живеем, или поне ние възприемаме. Отвъд границите на аксиомите остава само вярата в тяхната неоспоримост, истината, която човешкият ум може да стигне още по-далеч и можете да се съмнявате в тяхната истина, в най-добрия случай ще откриете изцяло нова математическа теория (това се случи с евклидовата геометрия след отрицанието на аксиома на паралелограмите), nuz av horsom В този случай ще разширите и без това широкия кръг математици с психични разстройства.
Така с помощта на процедурни правила можем да получим от отделните аксиоми истинската респ. неверни изречения, които след това можем също да комбинираме според процедурните правила в постоянно нови и нови изречения. Цялото извеждане на математическа теорема от няколко основни аксиоми се нарича доказателство. Би било наистина много приятно, не само за математиците, ако може да се създаде формална система, от която да се извлече не само истинността или неверността на всяко математическо твърдение, но дори и в рамките на тази схема може да се докаже, че тази система е без никакви спор. Английският математик Дейвид Хилбърт призова за създаването на такава система, те се опитаха например. Ръсел с Уайтхед в тяхната известна работа Principia Mathematica. Но усилията им бяха напразни, защото през 1931 г. 25-годишният австриец Курт Годел, в кратък текст, озаглавен „За формално неотделимите свойства на формалните системи“, смачка програмата на Хилберт на прах и показа, че пълната истина винаги ще бъде отвъд човешко разбиране.
Една част от теоремата на Годел е сложна и ще отнеме цялата книга, за да я обясни. По същество Годел показа, че всички математически теореми могат да бъдат сортирани и по този начин номерирани и следователно процесът на доказване не е нищо повече от аритметична операция. Представете си, че сме сортирали и номерирали всички математически теореми с една променлива w, тогава на всяка от тези теореми P се присвоява число n (неговият ред). Всъщност имаме изявление Pn (w), което, ако е правилно синтактично конструирано, ни казва nirco за връзката между числата n и w. Също така, всички доказателства - изреченията и правилата, водещи до създаването на дадено изречение, могат да бъдат номерирани и ние можем да присвоим число n на всяко от тях, така че Tn обозначава конкретно n-то доказателство според нашата схема за сортиране (това конкретно сортиране и номерирането беше най-честата част от изречението на Модела и моето обяснение е много, но много неточно, но достатъчно, за да се разбере основната идея).
Така че можем да съставим изречение:
Пример [Tx доказва Pw (w)] - "Няма и x, e Tx доказва Pw (w)." Това изречение е наистина правилно формулирано изречение, тъй като, както вече писах, благодарение на номерирането на Годел, операцията за доказване е аритметична операция, която може да бъде изразена във всяка формална система, която позволява аритметични операции (например стандартна теория на числата и всички по-сложни формални системи). Така че тази теорема ни казва, че теоремата Pw (w) не може да бъде доказана. Тъй като всъщност премахнахме x, използвайки екзистенциалния квантор "не съществува", имаме изявление за една променлива w. Тъй като сме сортирали и номерирали всички математически теореми за една променлива, можем също да присвоим числото k на тази наша теорема "Няма такова x, че Tx доказва Pw (w)", така че всъщност Pk (w) =
Пример [Tx доказва Pw (w)] .
И сега идва втората част от изумителната мисъл на Годел. Нека разгледаме тази функция за конкретна стойност на променливата w = k. Получаваме изречение
Ex [Tx доказва Pk (k)] = Pk (k). Изявлението Pk (k) гласи „Няма x такова, че Tx да докаже твърдението Pk (k)“. Има ли това изречение доказателство в рамките на нашата официална система? Има ли отрицание нейното отрицание? Отговорът и на двата въпроса е „не“. Ако дадените доказателства съществуват, изречението би било вярно и би ни казало, че няма доказателства, което обаче би означавало, че сме ни изложили зле на формална система, защото тя ни позволява да доказваме неверни твърдения. Така че единствената алтернатива е, че наистина няма доказателства за Pk (k). И точно това ни казва това изречение и затова е вярно, затова намерихме истинско твърдение извън нашата официална система! И какво отрицание
Pk (k)? Тъй като Pk (k) е вярно твърдение, неговото отрицание, изявлението Pk (k) "Има x такива, че Tx доказва Pk (k)" е невярно! Въпреки това, в нашата формална система не можем да докажем неверни твърдения и следователно Pk (k) и нейното отрицание са извън формалната система. !
Теорема Pk (k) респ. можем да заместим нейното отрицание като друга аксиома в разширена формална система, но това няма да реши проблема, защото дори в тази формална система (с напълно различни свойства, можем да достигнем до така наречения свръхестествен набор, който вече е силно кафе за тази статия) стигаме до подобно твърдение Pl (l) чрез подобна връзка и същото се случва и с нас във формалната система, в която сме заместили отрицанието Pk (k) като аксиома. Какво всъщност измисли Годел? Достигна се до всяка формална система, в която могат да бъдат описани основните аритметични операции, т.е. много проста теория на числата, тя е непълна, има много верни твърдения, които са просто недоказуеми !
Теоремите на Годел са едно от най-забележителните математически (или логични) изречения. Обясняваме какво е отнело цялата фантастична книга на Хофщадтер „Годел, Ешер, Бах“ в кратка статия, така че вероятно всеки да може да я разбере, но си заслужава да се опита. Насладете се на това метаматично пътуване в сферата на непознатото. Принципът на несигурност на Хайзенберг, теорията на относителността на Айнщайн и теоремите на Годел за непроизводните свойства на формалните системи са 3-те научни „открития“, които най-силно повлияха на мисленето и науката на 20-ти век, пише в увлекателната си книга Годел, Ешер, Бах вижте Дъглас Хофстадтер. Въпреки това, докато фрази като „всичко е относително“ и „актът на наблюдение променя резултата от наблюдението“ са станали де факто част от фразеологичния речник, теоремата на Годел е почти непозната извън научната общност. На пръв поглед това наистина е много трудна концепция, но зад нея се крие удивително проста идея, която ще се опитам да изясня в този текст.
Каква е истината? Как да различа вярно твърдение от невярно? Нека сега да забравим за момент ежедневните аспекти на този въпрос и да се съсредоточим върху математическата истина. Още от времето на древна Гърция математиците и логиците се опитват да открият кои твърдения са верни - и следователно могат да се считат за теорема (теоремата) и кои не. Само през последните два века обаче е постигнат истински напредък, особено благодарение на т.нар формална логика.
Основата на формалната логика е формална система. Представете си, че имаме определен набор от символи, с които можем да напишем дадено изявление. Напр. символът + представлява операцията за добавяне, E (или екзистенциалният квантор) означава "съществува, за който се държи", A (или универсалният квантор) означава "за всички. Можем да използваме и логически символи като & -A, v-or, само ако,
отрицание и произволен брой променливи, които могат да бъдат означени като x, y, z, респ. x 'y' z ', x' 'y' 'z' и т.н.
От тези символи сме събрали аксиоми - крайъгълните камъни на официалната система. Аксиомите са НАБЛЮДЕНИ истини, които вече не трябва да се доказват, като напр Aa: (a + 0) = a - за всички a, e и плюс нула са равни на a, или Aa: (a.0) = 0. Във формалната система имаме и т.нар процедурни правила - кои са правилата, които ни казват как да създадем друго вярно твърдение от едно истинско твърдение - напр. ако твърдението P е вярно, тогава отрицанието на неговото отрицание също е вярно -
P = P или ако твърденията r = s и s = t са верни, тогава твърдението r = t също е вярно. Тези правила също са очевидни, те просто са част от света, в който живеем, или поне ние възприемаме. Отвъд границите на аксиомите остава само вярата в тяхната неоспоримост, истината, която човешкият ум може да стигне още по-далеч и можете да се съмнявате в тяхната истина, в най-добрия случай ще откриете изцяло нова математическа теория (това се случи с евклидовата геометрия след отрицанието на аксиома на паралелограмите), nuz av horsom В този случай ще разширите и без това широкия кръг математици с психични разстройства.
Така с помощта на процедурни правила можем да получим от отделните аксиоми истинската респ. неверни изречения, които след това можем също да комбинираме според процедурните правила в постоянно нови и нови изречения. Цялото извеждане на математическа теорема от няколко основни аксиоми се нарича доказателство. Би било наистина много приятно, не само за математиците, ако може да се създаде формална система, от която не само да се установи истинността или неверността на всяко математическо твърдение, но дори и в рамките на тази схема би било възможно да се докаже, че тази система е без никакъв спор. Английският математик Дейвид Хилбърт призова за създаването на такава система, те се опитаха например. Ръсел с Уайтхед в тяхната известна работа Principia Mathematica. Но усилията им бяха напразни, защото през 1931 г. 25-годишният австриец Курт Годел, в кратък текст, озаглавен „За формално неотделимите свойства на формалните системи“, смачка програмата на Хилберт на прах и показа, че пълната истина винаги ще бъде отвъд човешко разбиране.
Една част от теоремата на Годел е сложна и ще отнеме цялата книга, за да я обясни. По същество Годел показа, че всички математически теореми могат да бъдат сортирани и по този начин номерирани и следователно процесът на доказване не е нищо повече от аритметична операция. Представете си, че сме сортирали и номерирали всички математически теореми с една променлива w, тогава на всяка от тези теореми P се присвоява число n (неговият ред). Всъщност имаме изявление Pn (w), което, ако е правилно синтактично конструирано, ни казва nirco за връзката между числата n и w. Също така, всички доказателства - изреченията и правилата, водещи до създаването на дадено изречение, могат да бъдат номерирани и ние можем да присвоим число n на всяко от тях, така че Tn обозначава конкретно n-то доказателство според нашата схема за сортиране (това конкретно сортиране и номерирането беше най-честата част от изречението на Модела и моето обяснение е много, но много неточно, но достатъчно, за да се разбере основната идея).
Така че можем да съставим изречение:
Пример [Tx доказва Pw (w)] - "Няма и x, e Tx доказва Pw (w)." Това изречение е наистина правилно формулирано изречение, тъй като, както вече писах, благодарение на номерирането на Годел, операцията за доказване е аритметична операция, която може да бъде изразена във всяка формална система, която позволява аритметични операции (например стандартна теория на числата и всички по-сложни формални системи). Така че тази теорема ни казва, че теоремата Pw (w) не може да бъде доказана. Тъй като всъщност премахнахме x, използвайки екзистенциалния квантор "не съществува", имаме изявление за една променлива w. Тъй като сме сортирали и номерирали всички математически теореми за една променлива, можем също да присвоим числото k на тази наша теорема "Няма такова x, че Tx доказва Pw (w)", така че всъщност Pk (w) =
Пример [Tx доказва Pw (w)] .
И сега идва втората част от изумителната мисъл на Годел. Нека разгледаме тази функция за конкретна стойност на променливата w = k. Получаваме изречение
Ex [Tx доказва Pk (k)] = Pk (k) .
Изявлението Pk (k) гласи „Няма x такова, че Tx да докаже твърдението Pk (k)“. Има ли това изречение доказателство в рамките на нашата официална система? Има ли отрицание нейното отрицание? Отговорът и на двата въпроса е „не“. Ако дадените доказателства съществуват, изречението би било вярно и би ни казало, че няма доказателства, което обаче би означавало, че сме ни изложили зле на формална система, защото тя ни позволява да доказваме неверни твърдения. Така че единствената алтернатива е, че наистина няма доказателства за Pk (k). И точно това ни казва това изречение и затова е вярно, затова намерихме истинско твърдение извън нашата официална система! И какво отрицание
Pk (k)? Тъй като Pk (k) е вярно твърдение, неговото отрицание, изявлението Pk (k) "Има x такива, че Tx доказва Pk (k)" е невярно! Въпреки това, в нашата формална система не можем да докажем неверни твърдения и следователно Pk (k) и нейното отрицание са извън формалната система. !
Теорема Pk (k) респ. можем да заместим нейното отрицание като друга аксиома в разширена формална система, но това няма да реши проблема, защото дори в тази формална система (с напълно различни свойства, можем да достигнем до така наречения свръхестествен набор, който вече е силно кафе за тази статия) стигаме до подобно твърдение Pl (l) чрез подобна връзка и същото се случва и с нас във формалната система, в която сме заместили отрицанието Pk (k) като аксиома. Какво всъщност измисли Годел? Достигна се до всяка формална система, в която могат да бъдат описани основните аритметични операции, т.е. много проста теория на числата, тя е непълна, има много верни твърдения, които са просто недоказуеми !
Лоши новини? Със сигурност за убеден математически формалист, но иначе може да не е толкова тъжна новина. Самият факт, че Годел е стигнал до тази теорема, казва нещо за същността на човешкото съзнание. Ако човешкият мозък беше просто детерминирана система, следваща определени алгоритми и формални правила, Годел просто никога не би могъл да стигне до това изречение. Той стигна до това, защото човек има способността да смила не само в рамките на формалната система, но също така и способността да се издига по-високо, да преминава мета (meta meta, meta meta meta ad infinitum), да обвързва и спори извън всяка формална система. Също така знаем, че понятието математическа истина е много по-широко от всеки формализъм. Сякаш в крайна сметка Платон беше прав и имаше свят на математически идеи, красив и безкраен, който винаги ще виждаме само тъпа сянка.