Възлагане

Викторина е, както всички знаем, голям космически ентусиаст. Той има страхотен бинокъл вкъщи, зад който прекарва значителна част от свободното си време. Ще го види чак до далечна галактика, където последния път е видял любопитна двоична звезда. Състоеше се от две еднакво масивни звезди. Kvik реши да разбере с каква скорост общият център на тежестта на двоичния файл се отдалечава от Земята. За тази цел той измери честотата на една спектрална линия от спектъра на двоична звезда. Когато и двете звезди и Земята бяха на една и съща линия, той измери честотата \ (f_0 \). Когато линията на звездите беше перпендикулярна на посоката на Земята, Kvik наблюдава двойка спектрални линии с честоти \ (f _ + \) и \ (f _- \). Сега той просто трябва да го събере. Помогнете му с изчисленията.

Първото нещо, което трябва да осъзнаем, е защо Kvík наблюдава различни честоти на една и съща спектрална линия в различни позиции на звездите. След кратък размисъл стигаме до извода, че единственото разумно обяснение е Доплеровият ефект във връзка с движението на звездите. Те обикалят около общия център на тежестта със скорост \ (v \), която освен това се отдалечава от Земята със скорост \ (u \). По този начин, когато и двете звезди и Земята са на една и съща линия, и двете звезди се отдалечават от Земята със скорост \ (u \). Когато линията на звездите е перпендикулярна на посоката на Земята, тогава една от звездите се движи по отношение на Земята със скорост \ (u + v \), а другата със скорост \ (u-v \). Това е причината Kvík да наблюдава двойка спектрални линии.

модел
Двоично звездно движение

Когато открием причината за разликите в честотата на една и съща спектрална линия, може да изглежда, че вече сме спечелили. Всичко, което трябва да направите, е да го хвърлите в уравненията и да взривите скоростта \ (u \) от тях. Или не? Спомнете си, че промяната в честотата в ефекта на Доплер се описва с уравнението \ [f '= f \, \ frac >> \ text \ qquad (1) \]

където \ (c \) е скоростта на вълните, \ (w_ \) е скоростта на наблюдателя (приемника) и \ (w_ \) е скоростта на източника. Подбираме знаците според посоката, в която се движат наблюдателят и източникът. И четирите комбинации са разрешени.

В нашия случай \ (c \) е скоростта на светлината. Но какви са нашите скорости \ (w_ \) и \ (w_ \)? На пръв поглед е ясно, че резултатът зависи от избора на референтна рамка. Въпросът е как избираме референтната система. За да отговорим на това, нека разгледаме по-показателен пример - две коли, които се движат една срещу друга. След това имаме избор на референтни системи, свързани с отделни автомобили, с бабата, която стои на спирката или с Йожек, която тича към автобуса, но също така и с всяка друга референтна система.

На някои може да им хрумне, че избираме еталонната система според честотата, която ни интересува, т.е. ако ни интересува каква честота чува баба, описваме ситуацията в бабината система. Но тогава какво прави скоростта \ (w_r \) по отношение 1, когато тя винаги трябва да е нула? Тази скорост няма да е налице, така че този избор може да не е правилният.

Всъщност ние избираме референтна система, свързана със средата, в която се разпространяват вълните. В случай на звук, околната среда е въздух. А какво да кажем за светлината? Теорията на относителността казва, че светлината се разпространява еднакво във всички референтни системи, така че в случай на светлина резултатът не може да зависи от избора на референтна рамка. Това обаче противоречи на уравнение 1, така че не може да опише ефекта на Доплер за светлината.

Уравнение 1 е получено от трансформации на Галилей, които не са релативистки. Ако използвахме релативистки трансформации на Лоренц, щяхме да получим различна релация \ [f '= f \ sqrt> \ text \ qquad (2) \]

Няма да го извеждаме тук, тъй като читателят може лесно да го намери в наличната литература или в мрежата. Нека само отбележим, че числителят и знаменателят имат еднаква скорост \ (w \), която е взаимната скорост на източника и наблюдателя, така че резултатът не зависи от избора на референтната система. В този случай са разрешени само две комбинации от знаци - винаги избираме различни знаци и изборът им зависи от това дали обектите се отдалечават или се приближават един към друг.

Имаме по-интересната част от задачата зад гърба си. Сега можем да започнем да броим. Нека действителната честота на спектралната линия е \ (f \). За наблюдаваните честоти тогава \ [\ започнете f _ + ^> & = f ^> \ frac \ text \\ f _- ^> & = f ^> \ frac \ text \\ f_0 ^> & = f ^> \ frac \ text \ end \ qquad (3) \]

Изключете от системата от уравнения реалната честота на спектралната линия \ (f \), като първите две уравнения се разделят на 3 на третото. След няколко прости корекции завършваме формата \ [\ begin f _ + ^> \ left (u ^ 2 + uv-cv-c ^ 2 \ right) & = f_0 ^> \ left (u ^ + uv + cv -c ^ \ дясно) \ text \\ f _- ^> \ ляво (u ^ 2-uv + cv-c ^ 2 \ дясно) & = f_0 ^> \ ляво (u ^ -uv-cv-c ^ \ вдясно) \ text \ end \ qquad (4) \]

Виждаме, че и двете уравнения са линейни в \ (v \) и квадратни в \ (u \). Ние се интересуваме от скоростта на двоичен \ (u \), така че и от двете уравнения изразяваме орбиталната скорост на звездите \ (v \): \ [v = \ frac ^> - f _ ^> \ right)> ^> \ ляво (uc \ дясно) -f _ ^> \ ляво (u + c \ дясно)> \ text \\ \ qquad (5) \]

Много сме доволни, че един и същ фактор \ (\ ляво (u ^ -c ^ \ дясно) \) се среща и в двете уравнения, тъй като когато разделим уравненията, този фактор ще падне от тях, ефективно намалявайки степента на уравнението от кубичен до линеен. Постепенните корекции водят до крайния резултат \ [u = \ frac ^> f _ ^> - f _ ^ >> ^> - f _ ^> \ дясно) \ ляво (f _ ^> - f _ ^> \ дясно) > c \ text \ qquad (7) \]

Може да се мисли, че взаимните скорости на звездите и Земята са много малки в сравнение със скоростта на светлината, така че трябва да е възможно да се линеаризира връзката 2. Нека приложим разширението на Тейлър към него \ [f '= f \ sqrt> = f \ sqrt >>> = f \ left (1- \ frac + \ frac \ left (\ frac \ right) ^ + \ bar> \ left (\ ляво (\ frac \ дясно) ^ \ дясно) \ дясно) \ текст \]

Нека първо разгледаме развитието само до първия ред. В този случай получаваме набор от уравнения \ [\ begin f_ & = f \ left (1- \ frac \ right) \ text \\ f_ & = f \ left (1- \ frac \ right) \ text \\ f_ & = f \ ляво (1- \ frac\ вдясно) \ text \ end \]

Веднага виждаме, че тази система е еквивалентна на използването на класически доплер в референтния източник на вълновия източник. Когато обаче започнем да го решаваме, се сблъскваме с проблем, тъй като всички скорости падат от него и получаваме само условието за честоти \ [f _ = \ frac + f _> \ text \]

който гласи, че в приближение от първи ред честотата \ (f_ \) трябва да бъде средната аритметична стойност на останалите две.

За да стигнем до някакъв резултат, трябва да помислим за разширяването на Тейлър до втория ред: \ [\ begin f_ & = f \ left (1- \ frac + \ frac >> \ right) \ text \\ f_ & = f \ ляво (1- \ frac + \ frac >> \ дясно) \ text \\ f_ & = f \ ляво (1- \ frac+\ frac >> \ вдясно) \ text \ end \]

Отново изключваме честотата \ (f \) от уравненията, като разделяме уравненията помежду си: \ [\ begin \ frac >> & = \ frac-2uc-2vc + u ^ + v ^ + 2uv> -2uc + u ^> \ text \\ \ frac >> & = \ frac-2uc + 2vc + u ^ + v ^ -2uv> -2uc + u ^> \ text \ end \]

Този път получихме малко по-сложна система, тъй като и двете уравнения са квадратни в \ (u \) и в \ (v \). Нищо обаче не ни плаши толкова лесно. Гледаме ги с нашето професионално око и веднага виждаме, че когато ги добавяме и изваждаме един от друг, те малко опростяват: \ [\ begin \ frac + f _ >> & = \ frac-4uc + 2u ^ + 2v ^ > - 2uc + u ^> \ text \\ \ frac-f _ >> & = \ frac-2uc + u ^> \ text \ end \]

От тези уравнения вече не е проблем да се изрази орбиталната скорост \ (v \) в относително проста форма: \ [\ begin \ left | v \ right | & = \ sqrt + f _ >> - 1 \ дясно) \ ляво (2c ^ -2uc + u ^ \ дясно)> \ text \\ v & = \ frac-f_ \ дясно) \ ляво (2c ^ -2uc + u ^ \ вдясно)> \ вляво (uc \ вдясно)> \ text \ end \]

За да се отървем от абсолютната стойност и квадратния корен, нека приравним квадратите на орбиталната скорост. Работим за уравнение, което е квадратно в \ (u \) и не съдържа скоростта \ (v \), така че вече нямаме и най-малкия проблем с намирането на решение: \ [\ begin u ^ -2cu + \ frac \ ляво (f_ + f_-2f_ \ дясно) -2 \ ляво (f_-f_ \ дясно) ^> \ ляво (f_ + f_-2f_ \ дясно) - \ ляво (f_-f_ \ дясно) ^> c ^ = 0 \ text \\ u = c \ ляво (1 \ pm \ sqrt \ ляво (f_ + f_-2f_ \ дясно) -2 \ ляво (f_-f_ \ дясно) ^> \ ляво (f_ + f_-2f_ \ дясно) - \ ляво (f_-f_ \ дясно) ^ >> \ дясно) \ text \ end \]

Физическото решение е със знак минус, тъй като \ (\ left | u \ right | \ overset< . Pozorný čitateľ by mohol namietať, že náš výsledok nemôže byť správny, pretože narábame s relativistickým Dopplerovým javom a pritom sme použili klasický vzťah na skladanie rýchlostí. A má v podstate pravdu. V skutočnosti by sme mali uvažovať relativisticky získané rýchlosti vzďaľovania jednotlivých hviezd \[ w_=\frac>> \ text \] Тъй като обаче скоростите \ (u \) и \ (v \) са малки в сравнение със скоростта на светлината, изглежда, че можем да си позволим да използваме и класически сложни скорости. Нека обаче разгледаме резултата, който бихме постигнали, ако въпреки това използвахме релативистка връзка за съставяне на скорости, защото това е наистина интересно. Ще следваме точно същата процедура, както в първия случай. Започваме от системата на уравненията \ [\ започва f _ ^> & = f ^> \ frac >>>>>> \ text \\ f _ ^> & = f ^> \ frac >>>>>> \ text \\ f_ ^> & = f ^> \ frac \ text \ end \]

Когато поставим тези изрази в уравнение, стигаме до уравнение, което не съдържа скорости \ [\ frac ^> - f _ ^ >> ^> + f _ ^ >> + \ frac ^> - f _ ^ >> ^> + f _ ^ >> = 0 \ text \], което може да бъде допълнително опростено до \ [f _ = \ sqrtf _> \ text \], така че честотата \ (f_ \) трябва да бъде средната геометрична стойност на останалите две . Какво означава? Ако не пренебрегваме, тогава по принцип не е възможно да се определи скоростта на разстоянието на двоичния файл. След по-дълбоко размишление обаче не сме много изненадани. Имаме вълна с някаква честота и ни интересува как тази честота се променя поради ефекта на Доплер. Промяната в честотата се дава еднозначно от тарифите \ (u \) и \ (v \). По този начин, ако знаем привидните честоти в два случая, можем да изчислим честотата в третия случай, използвайки последната изведена връзка. Това означава, че трите ни уравнения, от които сме тръгнали, не са независими и следователно не е възможно да се изчислят три неизвестни от него, тъй като на практика имаме само две уравнения. Означава ли това, че Доплер не може да ни каже нищо за скоростта на разстоянието на двоичен файл? Не и ако не знаем действителната честота на наблюдаваната спектрална линия. Но тъй като честотите на спектралните линии са известни, на практика е достатъчно да се идентифицира дадената спектрална линия и да се използват две видими честоти, за да се изчисли разстоянието на двоичната звезда.

Бележка от изследователя

Честта и славата принадлежат на Йона, който единствен показа чрез честни релативистки изчисления, че не е възможно да се определи скоростта на разстоянието на двойна звезда от наблюдаваните честоти. Той използва умен трик, тъй като смята, че спомагателен обект се движи заедно с центъра на тежестта на двоичния файл, но след това добавя двойна доплерова смяна. Първата смяна взела предвид орбиталната скорост на звездите, а втората - скоростта на движение на центъра на тежестта на двоичния файл от Земята. Това изчисление доведе до връзката между наблюдаваните честоти \ [f _ = \ fracf _> + f _> \ text \]

което е различно от това, което получихме. Проблемът е, че в случая на наблюдаваната честота \ (f_0 \) предположихме, че разстоянието на разстоянието на звездата е \ (u \), което не е вярно. Всъщност трябва релативистки да съставим перпендикулярните скорости \ (u \) и \ (v \) и да използваме така получената скорост по отношение на релативисткия доплер.

Дискусия

Тук можете свободно да обсъждате решението, да споделяте своите парчета код и така нататък.

Трябва да влезете, за да добавяте коментари.