когато

Когато математиката разкрива тайните на природата: последователността на Фибоначи и златното сечение

За мнозина математикът беше много интересна и предизвикателна пречка пред теста за зряла възраст. Математиката обаче има незаменима роля в ежедневието. И не свършва при броене на ябълки в пай. Предоставя ни инструменти за изследване на космоса. По този начин математиката е вид камериерка - или, обратно, кралицата - на природните науки.

Математиката може да бъде не само полезна, но и изключително интересна. Една от нейните (според мен) най-интересни мини зони е Последователност на Фибоначи и номер на златното сечение (Последователност на Фибоначи и златно сечение). Очевидно не само аз се интересувам, тъй като според Google има милиони връзки към сайтове, които се занимават с тях.

Той положи основите за разбиране на този математически феномен Леонардо Бонучи (Фибоначи е съкращение от filius Bonacci - син на Bonacci, алтернативно Leonardo Pisano, Leonardo da Pisa) в книгата "Liber Abacci". Той го обясни на примера с размножаването на зайци. Той се чудеше колко зайци ще бъдат на полето след една година, ако пусне една двойка в началото, като са изпълнени следните условия: няма да умрат зайци, зайците ще достигнат полова зрялост след един месец и една двойка зайци ще бъдат родени при всяко раждане.

Първите няколко месеца ще изглеждат така (числата в лявата колона показват месеците, а числата вдясно броя на двойките зайци):

От размножаването на зайци той извлича последователност, известна днес като цифрова последователност на Фибоначи. Това всъщност е последователност от числа, където следващото число е сумата от предишните две и изглежда така:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597.

На пръв поглед това е обикновена последователност от числа, просто допълнение. Е, можем да извлечем интересни неща от него.
Започваме да определяме съотношението на две съседни числа, съотношението на идващите към предишното:

Сигурно сте забелязали, че получените съотношения се колебаят около числото 1.61803. Това е число с безкрайно десетично развитие и за първи път е използвано от Евклид, защото е било много важно в геометрията на правилните пентаграми и петоъгълници. В момента се споменава като ϕ, номер на златното сечение, или в случай на креационисти божествена пропорция (златно сечение/божествена пропорция). Това число се определя геометрично като съотношение на дължини:

Използвайки "чудотворни" математически операции, получаваме алгебрична нотация:

ϕ = (1 + √5)/2 = 1,6180339887.

Нека оставим математиката сега и да разгледаме числата на Фибоначи в природата. По време на еволюцията всички живи организми се стремят да оптимизират своя растеж и ефективно да използват ресурсите. Последователността на Фибоначи и номерът на златното сечение се оказаха една от възможностите.
Нека да разгледаме растенията и разпределението на листата по стъблото.

Много растения засаждат листа върху стъблото по спирала, така че всеки допълнителен лист расте, изместен с определен ъгъл от предишния. Ако след това изчислим колко листа в поръчката ще бъдат точно над първия и положим резултата пропорционално на броя обороти на спиралата, създадена от листата, бихме получили т.нар. филотакс номер, напр. 1/3, 2/5, 3/8 - всички числа от последователността на Фибоначи. Математическото моделиране показа, че чрез такова разгръщане на растителни листа оптимизира количеството слънчева светлина и количеството вода, което достига до всеки лист.

Венчелистчетата (венчелистчетата) в цветята се използват по подобен начин. Броят на венчелистчетата в по-голямата част от растенията е равен на едно от числата на Фибоначи. Например, такава маргаритка може да има 13, 21, 34 или 55 листенца.

Числата на Фибоначи могат да бъдат намерени и в други части на растенията, които трябва да бъдат оптимизирани. Ако разгледахме иглолистни шишарки, ананаси или семена в слънчогледа, щяхме да открием, че те са подредени в спирали. В този случай става въпрос за оптимизиране на количеството семена на определена площ без излишно неизползвано пространство или припокривания. Конусите и семената на слънчогледа образуват два вида спирали - по посока на часовниковата стрелка и обратно. Ананасът добавя още един.

Какви числа получаваме, ако преброим броя на спиралите? Отново това ще бъдат числата на Фибоначи. Слънчогледови семки - 34 в посока и 55 в посока, шишарки 8/13 и ананас 5/8/13. И както можете да преброите правилно, съотношението на броя на спиралите представлява числото на златното сечение. Подобни спирали могат да бъдат намерени в други цветя или зеленчуци (напр. Келраби) или в един от най-красивите примери за последователността на Фибоначи в природата, който е романеско - кръстоска между карфиол и броколи, карфиол (отдолу). Романеско показва фракталната структура на последователността на Фибоначи - но този път няма да използвам фрактали.

Не на последно място, числата на Фибоначи се появяват по време на оптимално разклоняване на растителни стъбла, дървета, но също и бронхи и трахея. И се връщаме към зайците Фибоначи от самото начало. Заешкото родословие има същата форма като растителните стъбла или бронхите и бронхите:

Числата на Фибоначи и златното сечение са описани и върху човешкото тяло - това са различни пропорции на лицето, пропорциите на костите на ръцете, краката и другаде. Трябва обаче да разгледаме тези примери с критично око и да разграничим така наречените „вталени“ от реалните. Един пример за последователност на Фибоначи, който лично намирам за истински, е съотношението на ставите на пръстите на човешката ръка. Не само дължините на отделните статии са пропорционални на броя на златното сечение. Освен това, когато сгъваме пръсти и свиваме юмруци, пространството е оптимално запълнено.

Да се ​​върнем за момент към числата и геометрията. Друга интересна математическа операция, която може да се приложи към последователността на Фибоначи, е степенуване и последващо добавяне.

Оригинална последователност на Фибоначи: 1 1 2 3 5 8 13 21 34.
И квадрати от числа: 1 1 4 9 25 64 169 441.

Нека сега изчислим квадратите на първите 8 последователни числа:
1 2 +1 2 +2 2 +3 2 +5 2 +8 2 +13 2 +21 2 = 714

И какво ще стане, ако умножа числото 21 по числото 34?
21x34 = 714

Ако сега заменя числата на Фибоначи с квадрати, представляващи техните квадрати и постепенно ги сгъна, стигам до фигура (L), където съдържанието на правоъгълника, образуван от тези квадрати, може да бъде или сумата от съдържанието им, или кратно от страните (21x (21 + 13)) = 714. Този правоъгълник е пример за т.нар. златен правоъгълник (златен правоъгълник). Обърнете внимание, че страните на правоъгълник могат да бъдат разделени на базата на квадрати с дължина на страни, равна на числата на Фибоначи, и получените съотношения ще бъдат близки до ϕ. Ако тогава опишем окръжност с център в единия ъгъл и радиуса на даденото число на Фибоначи за всеки от дадените квадрати на Фибоначи, ще получим спирала и да, предположихте правилно, златна спирала (златна спирала):) - частен случай на логаритмична спирала.

Тъй като тази златна спирала е получена от числата на Фибоначи, разбираемо е, че тя ще има различни интересни свойства. Математикът Жак Бернули (чичото на Даниел Бернули, благодарение на който летят самолетите) също го забеляза и го нарече Спира Мирабилис. Въпреки че спиралата се увеличава, формата й остава същата. Радиусът му се увеличава експоненциално и се увеличава ϕ-пъти на всеки четвърт оборот, т.е. 90 °, което е видно и от фигурата по-горе.

Всеки четвърт оборот на спиралата се формира от квадрат със страна, равна на числото на Фибоначи (21). Това е приблизително ϕ пъти по-голямо от числото (13), което е равно на страната на предишния квадрат (13 x ϕ = 21). Формата на тази спирала също е широко разпространена в природата. Това са гореспоменатите спирали от слънчогледови семки, шишарки от карбонати или ръка, стисната в юмрук, която прилича на златна спирала (предвид факта, че дължината на ставите на пръстите е пропорционална на последователността на Фибоначи, това не е изненадващо ).

Един от уж най-елегантните и илюстративни примери за тази спирала в природата е черупката на морския мекотел - лодка (Nautilus). Вярно е, че по-точните измервания показват съотношения от 1,24-143, средно 1,33, което не съвпада с ϕ (1,618).

Формата на тази златна спирала е в основата на други огромни до гигантски формации като урагани или дори един тип галактика.

Последователността на Фибоначи е пример за факта, че математиката може да бъде един вид универсален език, чрез който природата разкрива законите и принципите, на които работи. От друга страна, това ни показва това по време на еволюцията биологичните системи, под влиянието на естествения подбор, като цяло са се развивали до възможно най-ниските разходи с най-високи добиви.

Не на последно място, дори когато се прилага последователността на Фибоначи и номерът на златното сечение към биологични и други системи, е важно да се поддържа критичен изглед (бел. Ред. Например твърдението, че златното сечение често се използва в изкуството и архитектурата или че съдържа предмети, фотографии, картини и т.н. за човека по-естетически е мит). Естествено човешко свойство е да търси модели и връзки и така се случва да идентифицираме връзки там, където няма такива, като например в объркването на временната приемственост с причинно-следствената връзка при ваксинацията и аутизма.

Допълнение от автора и редакторите: Както видяхме в примера на лодката, много популярни примери за златното сечение не са точните му проявления. Не бива да ги разбираме като перфектни прояви на математически принцип, а като приближаване до определена формула в резултат на еволюционни усилия за оптимизиране на растежа. Това е така, защото процесите на развитие са възпрепятствани да се движат към някакъв точен геометричен оптимум в живите организми, който се влияе от огромен брой фактори (следователно дори дясната и лявата ръка не са идентични от раждането).

Това важи и за неживата природа. Виждаме това в примера на сфера, която представлява формата с най-ниска енергия. Независимо от това, обектите с перфектна сферична форма са рядко срещани в природата. Същото е и със златния разрез - галактиките и ураганите не са перфектните му проявления.

По въпроса какво да се разглежда като пример за златното сечение и кое не, възгледите на учените могат да се различават в зависимост от това кой научен отдел представляват. Докато представителите на такава точна наука като математиката изглежда отхвърлят много примери, биолозите (като автора), осъзнаващи естеството на процесите на развитие и развитие, могат лесно да ги приемат.