Подготвено от: Петра Подманича
F, G има огнища
А, Б са основните върхове
C, D са странични върхове
| КАТО | = | BS | = a = основна ос
| CS | = | DS | = б = следващата половин ос
| FS | = | GS | = д = ексцентричност на елипсата
права AB е основната ос
права CD е малка ос
линии FM а GM са насочващи точки M [x, y]
е множеството от всички точки в равнина, които имат постоянна сума от разстояния от две дадени неподвижни точки, където
- ние разглеждаме фокусите като две основни точки (от снимката те са точки F, G)
-ние считаме, че постоянното разстояние на основните върхове и по този начин основната ос е постоянна сума от разстояния (от снимката това е разстоянието | AB | = 2 * a)
и по този начин можем да напишем, че ELIPSA е множеството от всички точки в равнината, за които има отношение:
| FM | + | ГМ | = | AB | = 2 * а
съдържание на елипса е пряко пропорционален на произведението на главната и вторичната полуоси, т.е.:
Ръководство е линията, свързваща която и да е точка от елипсата с фокуса
Ексцентричност елипса (e) представлява фокусното разстояние на центъра на елипсата. Използвайки ексцентричност, ние изразяваме, т.нар числена ексцентричност, която изразява степента на сплескване на елипсата, изразява степента на разлика от окръжността
- между ексцентричността, главната и вторичната полуос, връзката е изведена въз основа на теоремата на Питагор (триъгълна FSC):
a 2 = b 2 + e 2
Извеждане на уравнението за аналитичен израз на елипса:
- изхождаме от основната дефиниция на елипса:
- за | FM | отношенията се прилагат:
- за | ГМ | отношенията се прилагат:
- заместваме това в оригиналното уравнение и модифицираме:
- Или в pr в случай на елипса, центрирана върху S координати [m, n] е следното уравнение:
- И в пр в случай, че става дума за обърната елипса, която има идентична основна ос, респ. успоредно на оста y, се прилага отношението
Тангенс на елипса
за допирателната на елипсата T [x T, y T] се прилагат следните две отношения:
Решен пример:
Елипсата се изразява с уравнението 16x 2 + 25y 2 = 400. Ур отчита главната и малката ос, ексцентриситета и координатите на фокусите. Как ще бъде поставена елипсата?
Трябва да изразим уравнението на елипсата, т.е. разделяме цялото уравнение на израза 400:
- От това уравнение следва, че:
1. Основна ос = 2a = 2 * √a 2 = 2 * √25 = 10
2. Малка ос = 2b = 2 * √b 2 = 2 * √16 = 8
Изчисляваме ексцентричността според съотношението: e 2 = a 2 - b 2:
e = √ (5 2 - 4 2) = (25-16) 1/2 = 3
Фокусът има координати:
И елипсата има основна ос, идентична на оста x, тъй като числото под (x 2) е по-голямо от числото във формулата под (y 2)
Елипсата се изразява с уравнението 9x 2 + 25y 2 - 54x - 100y - 44 = 0. Определете голямата и малката ос, ексцентриситета и координатите на центъра на елипсата
Трябва малко да коригираме това уравнение. Ще добавим x-членове и y-членове и ще се опитаме да ги попълним, така че да получим проста формула от тип (x-m) 2, респ. (у-н) 2
(9x 2 -54x) + (25y 2 -100y) = 44
- трябва да отделим изрази, издигнати до степента на втория, и затова премахваме преди скобата:
9 * (x 2 -6x) +25 (y 2 -4y) = 44
- сега трябва да добавим (извадим) от лявата страна и да добавим (извадим) число от дясната страна, така че да получим гореспоменатата формула. Защото важи
- като по този начин добавяме формулата, вдясно трябва да добавим числата 9 * 9 и 25 * 4.
- И така получаваме:
9 * (x 2 -6x + 9) +25 (y 2 -4y + 4) = 44 + 9 * 9 + 4 * 25
9 * (x-3) 2 + 25 * (y-2) 2 = 225 ………/разделяне на 225
От даденото уравнение следва, че:
Основна ос = 2a = 10
Малка ос = 2b = 6
Ексцентричност = (5 2 - 3 2) 1/2 = 4
А центърът на елипсата има координати S [3,2]
Нери примери:
1. Елипса се дава от уравнение 9x 2 + у 2 + 9x - 4y. Ур чете всичко, както в разрешения пример.
a = 5/2; b = 4/6; S [-0,5; 2]; елипса m има основна ос, успоредна на оста y
2. Елипсата се дава от уравнението 16x 2 + 4г 2 = 64. Урт чете всичко, което му принадлежи
а = 4; b = 2; e = 12 1/2 ; F [0; -12 1/2 ]; G [0; 12 1/2 ], елипса m има основна ос, идентична с оста y
Препратки:
1. Преглед на математиката II - В. Бурджан, Ľ. Юнак, М. Максиан
2. Собствени бележки
3. Събиране на формули по математика от авторския екип RNDr. Мариян Олежар, мол. Ивета Олеярова, Мартин Олеяр, Мариан Олеяр, мл.