Изготвил: Ing. Рената Двончова
Първо, нека дефинираме какво представлява кръг.
В геометричните конструкции, използващи линийка и компас, в допълнение към права линия, кръгът е от най-голямо значение, което може да се определи, както следва:
Кръг е множеството от всички точки на равнината, които имат от тази точка С tejtoroviny (център на кръга) същото разстояние (фиг. 1). Извиква се права, чиято една точка е центърът на окръжността S, а другата произволна точка на окръжността радиус на окръжността - посочваме с малки букви r.
Всяка права, чиито крайни точки са две различни точки на кръг, се нарича хорда на кръга. Струна, който минава през центъра на кръга се нарича диаметър на кръга и го означават с малки букви d и държи: 2r = d.
Следната формула се прилага за дължината на кръг с радиус r:
Където r е радиусът на окръжността
- Числото на Лудолф, чиято стойност е приблизително 3141 59
Наборът от всички точки в равнина, за тяхното разстояние в от центъра на дадения кръг на плотера r отнася се за:
в r наричаме външния кръг
Кръгово уравнение:
За аналитичния израз на кръг можем да изведем следните изречения:
V.1. Кръг с център в началото на координатната система (S = O) и с радиус r има уравнение, наречено от централното уравнение на окръжността:
V.2. Кръг с център S (m, n) и радиус r има уравнението под формата:
(x - m) 2 + (y - m) 2 = r 2
Ние също наричаме тази форма на уравнението на окръжността централна форма на уравнението на окръжност.
а) Уравнението на всеки кръг може да бъде изразено в общ вид:
x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
б) Обърнатата теорема не се прилага, тъй като всяко уравнение от тази форма не трябва да бъде уравнение на окръжност. Това може да бъде само ако уравнението може да бъде преобразувано във формата, дадена в изречение 2.
Състояние: A 2 + B 2> 4C
Напишете уравнението на окръжност, която има център в началото на координатната система и минава през точката М
Тъй като M ≠ 0, търсеният кръг съществува и неговото уравнение има формата x 2 + y 2 = r 2 .
Точката М лежи върху нея, така че нейните координати x = 2, y = - 3 удовлетворяват уравнението, така че важи следното:
Уравнението на окръжността, което търсите, ще има формата:
Решение:
Тъй като A S, кръгът, който търсите, всъщност съществува.
Заместете в централната форма координатите на центъра: m = - 4; n = 5, тогава получаваме това уравнение:
(x + 4) 2 + (y - 5) 2 = r 2 Знакът + е защото
Трябва да определим радиуса му = r. Точка А лежи върху тази окръжност, следователно нейните координати x = 6;
y = 1 удовлетворява уравнението, т.е. отнася се за:
(6 + 4) 2 + (1 - 5) 2 = r 2
регулирайте: 10 2 + (- 4) 2 = r 2
116 = r 2 r =
Уравнението на окръжност удовлетворява условията на нашия проблем, така че можем да го представим в средната форма, както следва:
(x + 4) 2 + (y - 5) 2 = 116
можем да преобразуваме това уравнение в обща форма, използвайки формулите:
(a + b) 2 = a 2 + 2.a.b + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2. a.b + b 2
x 2 + y 2 + 8x - 10y - 75 = 0
Докажете, че уравнението x 2 + у 2 + 6x - 8y + 21 = 0 е уравнението
кръг, определете радиуса и центъра му:
Ако има кръг k (S, r), който имаме, тогава той има уравнението:
(x - m) 2 + (y - m) 2 = r 2
стигаме до това уравнение чрез модифициране на даденото уравнение в обща форма, както следва:
x 2 + 6x + y 2 - 8y = - 21
членове с неизвестни x и y се добавят към квадрата, докато същите
ние също добавяме стойностите към другата страна на уравнението:
x 2 + 6x + 9 + y 2 - 8y + 16 = - 21+ 9 +16
адаптирайте се към формулата:
(x + 3) 2 + (y - 4) 2 = 4
От полученото централно уравнение на окръжността сега определяме центъра на окръжността a
m = - 3; п = 4; S (-3,4); r = = 2
Напишете уравнението на окръжността, която минава през точките:
Ако има кръг за търсене, той има уравнението:
x 2 + y 2 + Mx + Ny + L = 0
Предполагаме, че точката А лежи върху окръжност, затова заместваме координатите x, y в уравнението.
Същото важи и за точки В и С. Получаваме следните уравнения:
Заместваме координатите на точка А:
7 2 + 3 2 + M.7 + N.3 + L = 0
49 + 9 + 7M + 3N + L = 0
58 + 7M + 3N + L = 0
Заместваме координатите на точка Б:
(- 2) 2 + 6 2 - 2M + 6N + L = 0
40 - 2M + 6N + L = 0
Заместваме координатите на точка С:
5 2 + (- 1) 2 + 5. M - 1.N + L = 0
26 + 5M - N + L = 0
Записваме получените уравнения един под друг и получаваме система от три уравнения с три неизвестни:
58 + 7M + 3N + L = 0
40 - 2M + 6N + L = 0
26 + 5M - N + L = 0
Решението на тази система от уравнения ни дава следното: M = - 4; N = - 6; L = - 12
Дадените три точки определят кръг около това уравнение:
x 2 + y 2 - 4x - 6y - 12 = 0
след регулиране към централната форма:
(x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 25
1./Напишете уравнението на окръжност, която има център в точката S (-2.4) и минава през точката A (1.5)
2./Определете центъра и радиуса на окръжността, дадени от уравнението: x 2 + y 2 - 10x + 10y - 20 = 0
3./Напишете уравнението на окръжността, преминаваща през точките:
Литература: Преглед на математиката в гимназията